Tipos de árboles
Arboles con Raíz
Sea G un grafo dirigido, se denomina “árbol dirigido” si el grafo no dirigido asociado con G es un árbol. Cuando G es un árbol dirigido, se denomina “árbol con raíz” si hay un único vértice r, la raíz.
Sea G un grafo con raíz V0. Supóngase que x, y, z son vértices en G y que (v0, v1, …, vn), es un camino en G.
V(n-1) es el padre de v(n).
V0, v1, …, v(n-1) son los antepasados de v(n).
V(n) es el hijo de v(n-1).
Si x es un antepasado de y, entonces y es un descendiente de x.
Si x e y son hijos de z entonces x e y son hermanos.
Si x no tiene hijos entonces x es un vértice terminal.
Si x no es un vértice terminal, entonces x es un vértice interno.
El subgrafo de G que consiste en x y todos sus descendientes, con x como raíz, es el subarbol de G que tiene a x como raíz.
Sea R= (V,A) un árbol con raíz r. Si R no tiene otros vértices, entonces la raíz misma constituye el recorrido en orden previo, simétrico y posterior de R. Si |V| › 1, sean R1, R2, R3, …., Rk los subarboles de R según se va de izquierda a derecha.
El recorrido de orden previo de R comienza en r y después pasa por los vértices de R1 en orden previo, a continuación por los vértices de R2 en orden previo, y así sucesivamente hasta que se pasa por los vértices de Rk en orden previo.
El recorrido en orden simétrico de R primero, se pasa por los vértices de R1 en orden simétrico, después por la raíz r y a continuación por los vértices de los subarboles R2, R3,…., Rk en orden simétrico.
El recorrido en orden posterior de R pasa por los vértices de los subarboles R1, R2,…., Rk en orden posterior y a continuación por la raíz.
Un árbol binario es uno con raíz en el cual cada vértice tiene un hijo a la derecha o un hijo a la izquierda, o viceversa, o bien ningún hijo. Un árbol binario completo es uno en el cual cada vértice tiene un hijo a la derecha y uno a la izquierda, o bien ningún hijo.
Teorema:
Si T es un árbol binario completo con i vértices internos, entonces T tiene i + 1 vértices terminales y 2i + 1 vértices en total.
Un árbol binario de búsqueda es un árbol binario T donde se han asociado datos a los vértices. Los datos se disponen de manera que para cualquier vértice v en T, cada dato en el subarbol a la izquierda de v es menor que el dato correspondiente a v.
Arboles generadores
Un árbol T es un árbol generador de un grafo G si T es un subgrafo de G que contiene todos los vértices de G.
A esta característica general es posible agregar ciertos teoremas de modo de detallar aún más el alcance de la definición. Es así como el Grafo que contiene a T debe ser conexo, pues de lo contrario no existiría un subgrafo que contuviera todos sus vértices.
